Síntesis (32): El par básico FM y sus ratios

Hoy nos mantendremos en el tipo más sencillo de FM: un par FM básico en el que un único oscilador senoidal ataca como modulador a un único oscilador portador, también senoidal. Es la forma más simple de FM, pero que resulta ya muy productiva y está disponible en muchos sintes, aunque no sean específicamente pensados para FM.

Habéis pedido (con mucha razón) que comente con profundidad la cuestión de las diferentes ratios de frecuencia entre portadora y moduladora, y de ahí la entrega de hoy. Veréis muchas imágenes generadas con un excel que he preparado para contar la parte de FM en mis cursos de síntesis (tenéis al pié información sobre el próximo).

No os llaméis a engaño: que cuente con tanto detalle algunas cosas no es para que lo tengamos en cuenta al 100% al crear sonidos. Pero reflexionar en profundidad nos permite garantizar que lo esencial se nos quede dentro. Cuando yo creo sonidos FM no estoy ya pensando en las ratios e índices y sus valores, pero estudiarlas sí me ha permitido saber qué hacer con ellas, cómo conseguir ciertos resultados, o como cuando en un sonido tengo un determinado problema puedo compensarlo y corregirlo. Para tener esa libertad al crear sonidos, creo bueno pasar por la tortura de un estudio sesudo de las diferentes posibilidades de las ratios en FM.

Os daré pistas sobre cómo usar las ratios y qué tipo de sonoridad genera cada una. Pensaba haber ido ya a una entrega práctica, con ejemplos en vídeo, pero abusando de vuestra paciencia, este capítulo también será de lectura. Prometo vídeo suculento para el próximo.

En la entrega anterior vimos que en FM, pese a partir de dos osciladores senoidales, se generan múltiples rayas alrededor de la portadora que aparecen en saltos definidos por la frecuencia de la moduladora. La idea básica la resume esta gráfica que ya presentábamos entonces, y en la que veis que a medida que la intensidad de la moduladora crece (y con ella el índice de modulación, la ‘profundidad’ de la modulación que realiza, hasta dónde llega a desplazar a la frecuencia portadora) se produce un ensanchamiento del espectro por aparición de un número creciente de rayas en torno a la portadora, que se van agregando a distancias múltiplo de la frecuencia moduladora.

Un ensanchamiento simple, de tipo ‘montaña’ cuando usamos índices bajos de modulación (una moduladora de poca intensidad), pero que luego, al subir la intensidad de la moduladora, llega a ofrecer comportamientos muy variopintos en la zona central, con muchas subidas y bajadas locales, pero sobre un régimen global que es ‘plano’ salvo en los extremos (decrecientes).

Mientras nos movemos en índices bajos esas ‘montañas’ aseguran un sonido más natural. Por el contrario, la incursión en índices altos da lugar a timbres excesivamente forzados y a menudo antinaturales. Ya me contaréis qué instrumento es capaz de generar tantísimo brillo como expresan esas series larguísimas de parciales que mantienen un nivel continuamente alto, salvo un estruendo de una sección de metales a pleno gas.

Lo que quiero recalcar es que casi siempre en FM tendremos mucho cuidado con el índice de modulación: nada de recorridos al máximo de la posible excursión. En la práctica eso se convierte en que usaremos una moduladora de poco nivel. La salida del oscilador modulador casi nunca la pondremos al 100%.

En varios de los ejemplos que usaremos aplicaré un índice de modulación ‘1’, que es bastante bajo, y que produce básicamente dos o tres rayas a cada lado, con esa forma de montículo a la que vengo refieriéndome. Os dejo como referencia el valor de amplitud (no en dB, sino amplitud) de las rayas a ambos lados de la portadora con índice 1. En realidad, si pintaramos no la amplitud como valor absoluto sino con signo, deberíamos tener en cuenta que en las componentes inferiores, las impares cambian de signo. La cuestión del signo de cada componente generada, sólo nos afecta cuando esa componente se va a combinar con otras, cosa que sucede a menudo en FM por el 'rebote' de componentes negativas que vamos a comentar y observar hoy.

Por comparación, aquí tenéis el espectro que se genera con un índice de valor 6, ya relativamente elevado, con unas 8 o 9 rayas importantes a cada lado.

No vamos a entrar en demostrarlo, pero aproximadamente se generan I+2 rayas a cada lado, siendo I el valor del índice.

El índice de modulación máximo que llega a permitir un sinte FM varía mucho de unos a otros. Incluso dentro de los DX, cada familia tenía un recorrido diferente. Llegaba a 13 como valor máximo en el DX7 original y otros de la primera generación DX de 6 operadores. Para ello había que poner al máximo el nivel de salida del oscilador modulador. Pero sin embargo llegaba a 26 en el DX21 y otros de 4 operadores (quizá como forma de compensar el menor número de operadores). En sintes posteriores había otros recorridos. Otras marcas y modelos tienen sus propios recorridos. Pero en general los valores más útiles son los de índices no muy altos, así que con cualquiera de ellos obtendremos resultados útiles.

¿Cómo realizamos FM en los sintetizadores comerciales? Se trata de hacer lo mismo que en un vibrato, pero sustituyendo el LFO por un oscilador convencional. Un oscilador (el modulador) deberá mover arriba y abajo la frecuencia del otro (el portador, que es el que finalmente oiremos).
La arquitectura en los Yamaha DX y tantos otros sintes FM se basa en el juego de osciladores senoidales en el que uno actúa como ‘modulador’ (modulator) de la frecuencia de otro que actúa como ‘portador’ (carrier). Para evitar que el sonido sea ‘estático’ cada oscilador cuenta con su propia envolvente que permite variar su nivel a lo largo del tiempo. Sería algo así:

Yamaha bautizó en sus DX como ‘operador’ ese grupo de un oscilador senoidal y un generador de envolvente que controla su nivel de salida. Pero en otros sintes podéis recrear arquitecturas parecidas. La estructura que muestra la figura anterior es propia de una FM de dos operadores (presente en infinidad de dispositivos como juguetes, móviles antiguos, etc.). Los sintes DX usaban esquemas más complejos (que veremos otro día) con 4 o 6 operadores, interconectados de diversas posibles formas que Yamaha bautizó ‘algoritmos’. Sintes como el DSI Pro-2 o el Prophet-12 permiten FM con 4 osciladores. Mi Alesis Fusion ofrece 6. En sintes soft podéis a veces (FM8 de Native) ver aún más. En otros casos hay posibilidad FM pero limitada a un par básico modulador->portador (como en los Virus TI de Access).

Pero lo que está claro es que es necesario entender el par básico antes de entender otros esquemas más complejos.

Los cambios de nivel que realiza la envolvente del portador son cambios que sólo afectan al nivel, a la intensidad, del sonido resultante. Ya justificamos en el capítulo anterior esta cuestión: la amplitud final depende sólo de la portadora. Vendría a ser el equivalente de una envolvente aplicada al audio en el VCA final de un sinte sustractivo.

Sin embargo la envolvente aplicada en el modulador da lugar a que la intensidad de la modulación (cuánto se llega a desplazar la frecuencia de la portadora) sea la que cambie. Cuando la envolvente recorre valores ‘pequeños’ tenemos un índice bajo de modulación y por ello un espectro concentrado y de tipo ‘montículo’ . Cuando sube de nivel el espectro se ‘abre’, se ‘extiende ‘, y además la distribución difiere del simple ‘montículo’. Se trata por tanto de una envolvente que afecta a los aspectos tímbricos, no de intensidad. En cierta medida asociable a la envolvente aplicada a un filtro, pero aquí la actuación dista mucho de ser una mera apertura/cierre de un filtro, aunque sí hay una ampliación/cierre del espectro. Parecido sí, igual no.

Pensad en un vibrato de 2 Hz sobre una nota de 500Hz. Las ‘rayas espectrales’ aparecen en frecuencias: … 494 496 498 500 502 504 506 … Con lo que en esencia hemos sustituido la única raya que había originalmente por un ‘grupito’ (un ‘cluster’) de rayas muy próximas. Pero la sensación percibida es la de una raya que sube y baja su afinación a la velocidad de dos Hz. Nuestro oído está capacitado para seguir cambios de un sonido que no sean demasiado veloces. Y en este caso ‘sigue’ esas ascensiones y descensos de la afinación que se produce ‘sólo’ dos veces por segundo. Aquí domina la percepción ‘temporal’ de lo que sucede, no la percepción ‘espectral’. Es nuestro oído, funciona así.

Algo que es muy fácil de percibir y que todos los que tenemos sintes hemos vivido: cuando sube la frecuencia del vibrato y supera los 10 o 20 Hz ya no somos capaces de distinguir las subidas y bajadas de tono, lo que percibimos es un cambio tímbrico.
A medida que subimos la velocidad del modulador perdemos la capacidad de seguir las variaciones. Son tan rápidas que ya nuestra audición no aprecia la ‘trayectoria’. La sensación se convierte inicialmente en una mera inestabilidad difusa. Entramos en un terreno de cierto desasosiego: la percepción temporal ya no funciona (todo sucede demasiado rápido) y la espectral tampoco (todas las rayas están demasiado próximas para resolverlas).

Consecuente a ese desasosiego vemos cómo la sensación cambia. Con un vibrato a 20Hz lo que notamos es un timbre ‘granulado’ o ‘burbujeante’, sometido a un batido demasiado veloz, inestable pero sin un sentido musical como el del vibrato. Queda más como un timbre disonante, alterado. Si seguimos subiendo (y nos acercamos a los 100Hz) veremos que poco a poco el sonido se clarifica. Lo que notamos es una sensación de campanas, que nos habla de la existencia de parciales aislados y sin una relación armónica profunda entre ellos que los agrupe. Acabamos de cruzar el umbral en el que nuestro oído ya sí puede discernir las diferentes rayas y se empeña por buscarles un sentido, alguna relación que las asocie.

Pensad en el caso de portadora 500 y moduladora 120: las rayas estarán en …140, 260, 380, 500, 620 Hz... Ya no son un cluster aunque tampoco forman una serie armónica: son una distribución de parciales aislados pero sin un fundamental definido. Suficientemente separados para que el oído los aisle, pero sin llegar a formar una serie armónica que los aglutine.

Interesante, pero no podemos vivir sólo con inarmonías y campanas (de hecho podremos conseguir campanas mejores, ya lo veréis). La magia comienza cuando las frecuencias de la portadora y la moduladora pasan a estar relacionadas entre sí. Por ejemplo cuando ambas son iguales, o una es múltiplo de la otra, o cuando existe cualquier otra relación sencilla semejante como 2/3, 3/2, 3/4, 3/5, 2/9, etc.

Pero cada una de esas 'ratios' o relaciones entre la frecuencia de los dos osciladores nos lleva a sonidos diferentes.

En los sintes, como los DX, pensados específicamente para FM, lo habitual es poder especificar la frecuencia de los osciladores no por octavas, como solemos en otros sintes, sino directamente por ‘ratio’. Considerando que el valor 1 corresponde a la afinación de referencia o propia para cada nota, situar un oscilador en valor 2, 3, 4, etc. nos lleva a que su frecuencia sea ‘n’ veces superior. No son octavaciones, las octavas implicarín multiplicar por 2, 4, 8, 16…

Si os planteáis cómo lograr la ratio 3 en un sinte en el que tengáis los clásicos controles de octava (y no de ratio) no es cierto que sea una octava y una quinta, porque los teclados usan la quinta temperada. La ratio 3 corresponde a una octava y una quinta justa, no temperada. Al final tendréis que tirar del control ‘tune’ para terminar de sintonizar la ratio perfecta y avitar así batidos por rayas descolocadas respecto a la serie pretendida. Algo de esto ya vismo también en AM.

Es infinitamente más cómodo y rápido el ajuste cuando podéis especificar las 'ratios'. La facilidad para probar en un sinte verdaderamente FM qué sucede con relaciones 1/2, 1/3, 3/2, 6/11, o lo que se os ocurra, es impagable. No es nada sencillo si tenéis que ajustarlo 'a pelo' contando sólo con controles de octava y afinación (y a menudo no tendréis resolución o precisión suficiente para realizar esos ajustes y 'clavar' la relación que necesitáis). Intentar ajustar 'a oído' gasta el suficiente tiempo como para acabar desistiendo, porque los puntos 'dulces' son muy estrecho.

En definitiva, gracias a ello los sintes FM ‘nativos’ facilitan las cosas. Ofrecen directamente el control de las ratios y permiten moverse por ellas con facilidad

Más que teorizar abundantemente, he escogido unos ejemplos que os permitirán comprender cómo funciona la cosa y ganar criterios para tener bajo control este aspecto del diseño de sonidos mediante modulación. Fijaos bien en cada figura (clic en ella para abrirla a tamaño completo y apreciar los detalles).

La expresión fp +/- k fm define la ubicación de las rayas que genera la modulación de un seno portador de frecuencia fp mediante un seno modulador de frecuencia fm. Es más simple de lo que pensamos. Si fp=1000 y fm=200, se generarán rayas en 1000, 1200, 1400, 1600,… y también hacia abajo en 800, 600, 400, etc.

Para los resultados hacia abajo se llegan a producir valores negativos (seguiríamos con 200, 0, -200, -400, etc.). Podemos pensar en que sucede una especie de ‘reflexión’ que lleva esas contribuciones a frecuencias positivas (lo mismo que comentamos en AM). Así lo que debería ir a -200 o -400 acabará ocupando 200 y 400. Si se solapan en una frecuencia una componente ‘original’ y una ‘reflejada’ se suman o restan (si su amplitud es del mismo signo se refuerzan, en caso contrario el resultado es a la baja).

Tener en cuenta todos los detalles es excesivo. Habría que tener en cuenta por ejemplo que al reflejarse, esas componentes cambian de signo en cuanto a su amplitud, no sólo en cuanto a su frecuencia. Saber si para cierta ratio la raya enésima es positiva o negativa y su nivel es algo que mejor dejamos para las máquinas, no para las personas. Cuando las frecuencias se reflejan, puede suceder que vayan sobre frecuencias que ya existían o que vayan a llenar huecos donde antes no había nada. Puede suceder que al solaparse se refuercen o anulen. Pero podemos intuir una reglas suficientes, sin llegar al pleno detalle, y fáciles de recordar, que exponemos con algunos ejemplos. Voy a intentar sistematizar un poco la cuestión de las ratios, clasificando en varias posibilidades.

Se trata de casos en los que fm es submúltiplo de fp, o sea, fm/fp = 1/2 o 1/3 o 1/4, etc. O si lo preferís de esta otra manera fp es ‘n’ veces mayor que fm, sería fp = n fm.

En el caso de que fp además sea muchas veces mayor que fm, las rayas que se generan no llegan a cruzar (salvo con índices ya muy fuertes de modulación) a la zona ‘negativa’, así que el espectro FM (ya sea montaña o algo más complejo si subimos el índice) queda centrado allí donde dicta la portadora. En definitiva, el índice de modulación define la forma del espectro, y la frecuencia portadora lo ‘recentra’ en la zona que nos interese del espectro (de forma parecida a como hacíamos con AM).

Al subir el índice podemos llegar a acercarnos al momento en el que algunas rayas ‘escaparían’ por el lado negativo del espectro.

Si siguiera subiendo el índice de modulación comenzaríamos en este caso a apreciar la ‘reflexión’ de las frecuencias negativas. Pero esa situación de la ‘reflexión’ la vamos a ver aún mejor en el siguiente tipo de ratio.

Esa situación de que las rayas empiecen a cruzar al lado negativo se presenta cuando fp no está suficientemente distante de la frecuencia cero como para que ‘quepan’ todas las rayas inferiores. Sin necesidad de llegar a índices muy altos, si fp es sólo unas pocas veces más alto que fm, enseguida aparecerá ese fenómeno de 'reflexiones'. Algunas rayas inferiores se reflejan desde frecuencias negativas y se combinan con las que ya aparecían en esas mismas posiciones.

Fijaos lo que pasa en el ejemplo 2 si bajamos la fp a 750Hz, tal como muestra el ejemplo 3. No he llegado a sumar las rayas que se superponen, para que las veáis mejor una a una. Pero queda claro que mientras en la parte alta del espectro hay una ‘caída gradual’, toda la zona de los armónicos bajos y medios mantiene unos niveles apreciables, aunque con fuertes diferencias entre unos y otros.

Como podéis ver en la siguiente figura, el efecto de estas reflexiones globalmente suele contribuir a homogenizar el nivel de los armónicos que están por debajo de la portadora, evitando así que sea un espectro de ‘montaña’ y devolviéndonos a un territorio más de tipo ‘paso bajo’. Que os quede la idea de un espectro ‘lleno’ hacia abajo, de corte global ‘paso bajo’, aunque no sea plano y tenga fuertes desniveles internos.

Ahora es la portadora la que es submúltiplo de la moduladora. Este tipo de casos lleva a producir siempre ‘reflexiones’. Las componentes ‘hacia abajo’ siempre cruzan (todas ellas) más alla de la frecuencia cero y por tanto rebotan. Pero esas reflexiones pocas veces van a coincidir con rayas preexistentes, porque están muy alejadas entre sí. Así las cosas, las rayas aparecerán formando grupos de dos en dos aunque no necesariamente contiguas. Un espectro final en el que hay muchos huecos. Tiene estructura, corresponde a una serie armónica, pero faltan un buen montón de rayas.

Espectros tan ‘descargados’ pueden corresponder a sonoridades de parciales impares (como clarinete) o a campanas, maderas percutidas, etc. En estos últimos, se trata de objetos tridimensionales, y en cada ‘eje’ admiten modos de vibración independientes. Estos instrumentos tridimensionales suelen crearse para potenciar relaciones que apuntalen una definición de serie armónica, pero quedan muchos huecos entre medias.

Vemos un ejemplo. He vuelto a un índice bajo (1) para que así el resultado de la modulación sea de tipo ‘montículo’, sólo que ahora veremos que la parte izquierda del montículo, se refleja hacia la parte derecha y origina una raya ‘acompañante’ para cada raya que ya aparecía anteriormente.

Como ejemplifica este caso, cada grupo estará distanciado respecto del siguiente por la distancia que define la moduladora, y la distancia 'interna' entre las dos rayas de cada grupo será el doble de la frecuencia portadora.

Quiero mostraros un caso particular importante: si fp es la mitad de fm se obtiene un espectro de rayas impares.

En definitiva, fm = n fp produce parejas de rayas, la distancia entre parejas es fm y la separación entre las rayas de la pareja es el doble de fp. Jugando con esas ideas podemos ubicar las rayas con criterio, consiguiendo por ejemplo ese juego de impares y otras distribuciones.

Si la relación no es de múltiplo/submúltiplo, sino más complicada, pero todavía mediante una relación de enteros bajos, hay toda una variedad de situaciones que con lo ya visto en los ejemplos anteriores podréis entender mejor. Cosas como 2/5 o 2/3 o 3/5 o 5/6 o 5/7 o 3/11... o bien relaciones 'al revés' como 5/2, 3/2, 5/3…

Generalmente el sonido que se va a producir va a escucharse como la nota que correspondería a la frecuencia ‘1’, aquella que es capaz de dividir tanto a fp como a fm. Al usar 500 Hz modulando a 1250 Hz, escucharemos una nota de 250 Hz (el máximo común divisor de 500 y 1250). De hecho las rayas estarán en 1250, 1750, 2250… y por el otro lado en 750 y 250. Ordenadlas y obtenéis 250, 750, 1250, 1750,…

¿Os llama algo la atención? Sí, acabáis de generar otro espectro de rayas impares.

Suele suceder con estas relaciones que el sonido acaba en una octava comparativamente grave. Recordad que partíamos de 500 y 1250, y resulta una nota de 250. Pero se resuelve cambiado de octava ambos osciladores si hace falta. A octavas a veces sorprendentemente altas. Por ejemplo una ratio 7/9 sería obtenible con frecuencias 700 y 900 Hz, pero generaría un resultado de frecuencia fundamental 100Hz. Si vemos que el resultado es exageradamente grave podríamos buscar otras ratios, o bien usar 1400 y 1800 (la misma ratio pero una octava más arriba, correspondería a ratio 14/18). Recordad que lo que oiremos al final es la generosa colección de rayas que produce la FM y que lleva a que se oiga como nota percibida la frecuencia máximo común divisor de las dos que intervienen.

Voy a otro caso. ¿Y si se trata de fm=500 Hz. y fp=750Hz? Sería una ratio fp/fm=3/2. La serie de rayas tendrá 750, 1250, 1750… y por el otro lado 250, -250, -750… Si ordenamos (y sabiendo que habrá superposición por reflexión de las negativas) obtenemos 250, 750, 1250, 1750, … ¿Cómo es esto? ¿El mismo juego de rayas que acabamos de ver? Sí, pero sólo en cuanto a su posición, no en cuanto a sus niveles (el ‘centro’ era antes 1250 y ahora es 750). Uno y otro sonido no tienen nada que ver.

Por supuesto otras ratios pueden generar conjuntos de rayas que no sean sólo impares.

Vamos por ejemplo ahora a considerar un caso en el que fm sea menor que fp, pero con una relación que sea una fracción de enteros. ¿Estudiamos 1250 modulando a 500? Resultan 500, 1750, 3000, … y por otra parte -750, -2000, -3250 … que se reflejan. El resultado es por tanto 500, 750, 1750, 2000, 3000, 3250… Un espectro con abundantes agujeros (pero no un espectro de impares) que corresponde a la nota fundamental de 250 (aunque no esté presente en sí el parcial fundamental). Fijándonos bien observamos algo ya conocido: los parciales hermanados de dos en dos.

¿Pistas suficientes? ¿Cómo construiríais ese mismo sonido con las parejas pero recentrándolo en una frecuencia más alta? Por ejemplo con 1250 modulando a 3000 (que es 500 más dos veces 1250). Calculad que rayas salen, reflejad las negativas y ordenadlas y ¡bingo! Ahí están de nuevo 500, 750, 1750, 2000, 3000, 3250… pero con el centro ubicado en 3000. Menos paso bajo, trasladado a un carácter paso banda. En la figura que ilustra este caso he subido un poco el índice de modulación para que lo veáis con más facilidad.

En este tipo de sonidos, si os acostumbráis, se ‘oyen’ los huecos. De alguna manera nuestro oído aprecia esa presencia de parciales sometidos a una fuerte relación armónica pero alejados entre sí, sin completar todas y cada una de las celdas de la serie. Al final ese carácter hueco del clarinete, que nos suena a tubo, a agujero, a falta de algo, acontece aquí también pero con unos timbres que en nada se parecen al clarinete. Sencillamente timbres en los que oímos su carácter ‘despejado’, con carencias. Especialmente cuando abrimos mucho la distancia entre unos y otros armónicos empiezan a percibirse como sonidos casi acampanados, pese a no ser inarmónicos. La serie está demasiado vacía y se pueden oír con autonomía los distintos parciales y regiones ocupadas.

El extremo final de todo esto es cuando las relaciones ya no son enteras sencillas. Como podéis suponer ya no se producen sonidos armónicos, sino series de parciales sin esa vinculación. En ese tipo de sonidos si fp >> fm tendremos un juego inarmónico pero ‘denso’ centrado en alguna región espectral alta. Tienen un timbre característico que es mejor oír que intentar describir.

Personalmente me resulta mucho más útil, en estas relaciones no enteras, el caso fm>>fp, que da lugar a reflexiones. Se combinan así rayas no armónicas pero que tampoco son equidistantes entre sí. El resultado es magnífico para campanas no armónicas, pero que tengan esa ‘pureza’, ese carácter limpio, cristalino, de contar con rayas distantes entre sí, con espacio amplio para que cada parcial se oiga por sí mismos. Magnífico también para percusiones como los toms o mejor una txalaparta o un tronco africano, instrumentos en los que no hay una relación entre los parciales clara, pero en los que del enorme número de modos de vibración que se excitan sólo unos pocos (irregularmente distribuidos) llegan a ser duraderos.

Ya, ya lo sé. Hablar de esto sin oír nada es quedarse a medias. La siguiente entrega será esencialmente vídeo y poco texto. Veremos en ella estas cuestiones de hoy, relativas al par básico FM, y escucharemos estas cosas que hoy sólo hemos visto en figuras. Además comenzaremos a introducir el juego de las envolventes para crear sonido dinámicos, que evolucionan a lo largo del transcurso de la nota. Por fín el próximo capítulo podremos disfrutar y sacar algo de rendimiento al esfuerzo realizado hasta ahora.