el programa donde grabarlo puede ser el que quieras, quizás por ser gratuito con Audacity te puede valer. En cuanto a micro, no soy demasiado entendido, tampoco se cuanto para ti es barato, pero viendo un poco lo que comentas y que es algo muy amateur, quizás te diría que por economia cogieras este:
https://www.thomann.de/es/the_tbone_mb85_beta.htm
Esta inspirado en un modelo de más nivel y tiene unas valoraciones muy positivas de calidad y precio, quizás para empezar con esto puedas funcionar. Deberás saber que para grabar un microfono como este, vas a necesitar una interfaz de sonido (eso ya vale más). De lo contario vas a tener que ingeniartelas para trabajar con la tarjeta de ordenador que suele ser regular.
Para luego mezclar la voz, y la base, puedes usar el que mas te guste, yo uso el FL Studio.