Un overdrive es un tipo de efecto, por lo que cada marca tendrá el suyo, y ninguno sonará igual a otro. Por lo general tienen los mismos parametros, pero actúan de formas distintas en el sonido. Así que te queda o analizarlo bien y ver si cumple con lo que buscas, o, buscar plugins de terceros. Lo que buscas es de lo más básico, así que parte con plugins gratuitos, seguramente habrá alguno que te sirva. El overdrive de logic, por lo que he usado, me parece que intenta emular un pedal de guitarra tipo ts9 ts808, así que busca algo similar.
Entiendo perfecto tu situación, ya que fui usuario exclusivamente de logic por casi una decada, y al pasarme a ableton, simplente no podía creer lo poco que traía. Esto no es culpa de ableton, es simplemente que lo que trae logic nativamente, es brutal (y se condice con el modelo de negocio de apple). Con el tiempo he aprendido que ableton tiene más de lo que parece, pero pocas personas podrían quedarse con lo que trae nativo.
Si buscas plugins más profesionales, si no te bastan los gratuitos, recomiendo los de UAD (que son los que uso yo), waves o slatedigital.
Un saludo.