Reto para matemáticos

Bien, hace unas semanas se celebró el sorteo de cruces para las fases eliminatorias de champions, la UEFA hace un ensayo antes de lo que es la gala y el sorteo en sí y se dio la casualidad de que el bloque de 8 emparejamientos que salió en el ensayo fue el mismo que acabó saliendo en el sorteo final, así que la pregunta es ¿que porcentaje de posibilidades hay de que esto suceda?

yo hice unos cálculos pero sólo llegué a averiguar el número de emparejamientos individuales posibles, pero no como calcular el número de "packs" de 8 emparejamientos posibles

los datos son los siguientes:

1.- número total de equipos: 16
2.- los equipos se dividen en 2 bombos de 8, emparejándose los de un bombo con el otro
3.- no se pueden emparejar equipos que se hayan enfrentado en la fase de grupos
4.- no pueden enfrentarse equipos de la misma liga

así las cosas lo que hice fue hacer una regilla

Imagen no disponible

en el margen vertical-derecho puse los equipos del bombo 1, en la parte superior los equipos del bombo 2, de tal forma que tachando los emparejamientos que no se pueden dar por ser entre equipos de un mismo grupo ( 8 ) o por ser de la misma liga (6) me da un total de 42 emparejamientos posibles

pero aquí viene mi duda, la cosa no es averiguar los emparejamientos posibles sino los "packs" de 8 emparejamientos que se puedan dar, por ejemplo los emparejamientos "barcelona - milán" y "barcelona - arsenal" son emparejamientos válidos, pero no se pueden dar ambos en el mismo "pack"

así que esa es la pregunta ¿que operación/es hay que hacer para que te de como resultado los packs de enfrentamientos válidos? y luego calcular las posibilidades de que se puedan repetir dichos "packs"

Uf, lo de las probabilidades nunca fue mi fuerte.

Imagino que se podría resolver con permutaciones ya que son combinaciones de 2 equipos. Si hay 16 equipos, sería 2^n, es decir, 2^16, lo que me sale 65536 combinaciones distintas. Lo cual es número alto. ¿Alguien puede confirmar mi razonamiento o la he pifiado?

Aunque si planteo de cuantas formas se pueden "ordenar" los 16 equipos en una lista, sería: 16!, lo cual hace un número pequeñito: 2.1epx13

Me inclino más por mi primera respuesta.

#2

el problema que veo en ese planteamiento es que da la sensación de que los equipos pueden emparejarse de cualquier forma (por ejemplo real madrid vs real madrid) o que cuenta como 2 permutaciones distintas un mismo cruce (por ejemplo "barcelona vs milán" "milán vs barcelona") ninguna se podría dar.

básicamente es como he explicado más arriba, 2 bombos cada uno con 8 equipos, las combinaciones sólo pueden ser bombo 1 vs bombo 2 (no puede ser bombo 2 vs bombo 1) con las restricciones de que los equipos no pueden ser del mismo grupo y/o liga

a mi me dan 42 emparejamientos posibles, la cosa es como calcular cuantos grupos de 8 emparejamientos se pueden hacer teniendo en cuenta que los equipos no se pueden repetir

al principio pensé en 42/8...pero el resultado es 5,25 5 es demasiado poco (creo) y ese 0,25 no tiene sentido

#5

Entonces podríamos utilizar mi segundo razonamiento. Imagina una lista de 16 filas. En cada fila irá un equipo. Hay 2.1exp13 formas de colocar los equipos en las 16 filas. Y en ese caso sí que no se repiten al emparejar porque basta con ir cogiendo de dos en dos filas. Es decir, fila 1 vs fila 2, fila 3 vs fila 4. Lo que varía sería la disposición de los 16 equipos en la lista.

¿eso que es..2 por exponencial de 13?

No entiendo muy bien como estais intentando resolver el problema, ni a lo que os referís con "packs" de 8 emparejamientos, pero como ingeniero os propongo una aproximación a la solución que sería calcular todos los posibles emparejamientos de dos grupos de 8 equipos enfrentándose bombo contra bombo, tal y como habeis dicho, y luego si se quiere hilar fino empezar a quitar restricciones.
Lo digo por empezar a tener una idea del orden de la solución, y sobre todo porque para afinar y dar la solución exacta hay que saber los paises de los equipos y los cruces que han tenido por fase.
El caso es que los posibles enfrentamientos entre los equipos 1,2,3,4,5,6,7,8 y A,B,C,D,E,F,G,H no son tantos como pudieran parecer, pues a fin de cuentas no dependen del orden de salida de los emparejamientos. Es decir, si 1-A, eso da igual que salga en primer lugar o en último.
Para que se vea fácil, propongo ir empezando con grupos de 1 equipo por bombo, luego de 2, luego de 3, etc hasta dar con la regla.
Bombo 1: 1 equipo (1) Bombo 2: 1 equipo (A) = un solo posible emparejamiento. (Fácil)......1
Subimos a 2 equipos por bombo.
Bombo 1: 2 equipos (1,2) Bombo 2: 2 equipos (A,B) = Dos posibles emparejamientos. (1-A, 2-B) y (2-B, 2-A). El resto de combinaciones dan el mismo resultado(Fácil)......2= 2! = 2*1
Subimos a 3 equipos por bombo.
Bombo 1: 3 equipos (1,2,3) Bombo 2: 3 equipos (A,B,C) = 6 posibles emparejamientos. (1-A, 2-B, 3-C) (1-A,2-C, 3-B) (1-B,2-A, 3-C) (1-B,2-C, 3-A) (1-C,2-A, 3-B) (1-C,2-B, 3-A). El resto de combinaciones dan el mismo resultado(algo más complicado)......6= 3! = 3*2*1
Subimos a 4 equipos por bombo.
Bombo 1: 4 equipos (1,2,3,4) Bombo 2: 4 equipos (A,B,C,D) = 24 posibles emparejamientos. Hacedlo en papel si quereis.......24= 4! = 4*3*2*1
.....
Subimos a 8 equipos por bombo.
Bombo 1: 8 equipos (1,2,3,4,5,6,7, Bombo 2: 8 equipos (A,B,C,D,E,F,G,H) = 40320 posibles emparejamientos. Ni se os ocurra hacerlo ......40320= 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1.

Luego ese es el número máximo de posibilidades que yo calculo. 40.320. A partir de aquí empiezan las restricciones.
Si poneis los equipos que eran podemos calcularlas....

Me ha gustado el problema (o al mitad de él). A ver si alguien llega a la misma conclusión que yo.
Feliz 2013.

los equipos son:

BOMBO 1

.- Juventus (Italia) (Grupo E)
.- PSG (Francia) (Grupo A)
.- B. Dortmund (Alemania) (Grupo D)
.- Manchester U. (Inglaterra) (GRupo H)
.- Málaga (España) (Grupo C)
.- Bayern Munich (Alemaia) (Grupo F)
.- Schalke04 (Alemania) (Grupo B)
.- FC Barcelona (España) (Grupo G)

BOMBO 2:

.- Celtic Glasgow (Irlanda) (Grupo G)
.- Valencia (España) (Grupo F)
.- Shakhtar D. (Rusia) (Grupo E)
.- Real Madrid (España) (Grupo D)
.- Oporto (Portugal) (Grupo A)
.- Arsenal (Inglaterra) (Grupo B)
.- Galatasaray (Turquía) (Grupo H)
.- Milan (Itallia) (Grupo C)

según las reglas los equipos que se hayan enfrentado en la fase previa de grupos no se pueden enfrentar en octavos, es decir:

PSG vs Oporto
Schalke04 vs Arsenal
Málaga vs Milan
B Dortmunf vs Real Madrid
Juventus vs Shakhtar D.
Bayern Múnich vs Valencia
FC Barcelona vs Celtic Glasgow
Manchester U vs Galatasaray

tampoco los equipos que jueguen en la misma liga:

Juventus vs Milan
Manchester U vs Arsenal
Malaga vs Real Madrid
Málaga vs Valencia
FC Barcelona vs Real madrid
FC Barcelona vs Valencia

yo lo que hice fue este cuadro, tachando los emparejamientos que no se podían dar

Imagen no disponible

y luego en plan "cuenta de la vieja" fuí haciendo los "packs" de 8 emparejamientos, por ejemplo, usando a los equipos del primer bombo como referencia (los que están en vertical) y tomando como inicio el primer posible emparejamiento, hice el primer "pack"

oporto vs arsenal
schalke04 vs psg
málaga vs shakhtar *
b. dortmund vs milan
juventus vs real madrid
bayern munich vs celtic glasgow
fc barcelona vs galatasaray
manchester u. vs valencia

* en el caso del málaga (y a medida que vas eligiendo posibles emparejamientos pasa lo mismo) tenemos que un "málaga vs psg" y "málaga vs arsenal" son emparejamientos posibles del málaga, pero en este primer pack de 8 emparejamientos esos 2 no se pueden dar porque el PSG y el arsenal ya han salido

así que mi gran duda es ¿que operación matemática hay que hacer para poder ir sacando "pack de 8 emparejamientos" teniendo en cuenta el cuadro inicial?

#10

Se supone que pertece al campo de la combinatoria y las permutaciones. Los números factoriales son tu hamijos.

#8

Mira el comentario 6 y dime que te parece Aki.

Creo que lo complicais demasiado. O igual soy yo que lo simplifico más de la cuenta.

Born® escribió:

Mira el comentario 6 y dime que te parece Aki.

Creo que lo complicais demasiado. O igual soy yo que lo simplifico más de la cuenta.

Pues yo creo que no es acertado.
Primero, en tu razonamiento no discriminas que los equipos del primer bombo no se pueden enfrentar entre ellos, con lo que si calculamos todas las posibilidades estas también estarán.
Por otra parte, no entiendo de donde sacas que las posibilidades de ordenar 16 columnas cada una de ellas con el nombre de un equipo es 2.1exp13. Ni 2exp13.
Las posibilidades serían 16!. Lo que es un número de un orden mucho mayor. 20.922.789.888.000.

Para terminar de resolver el problema y ajustar las restricciones, como estas no siguen reglas "matemáticas" no se me ocurre una fórmula recurrente.
Yo recurriría a la informática y haría un programa con los bucles que vaya contando una a una todas las restricciones y viendo si cumple o no.

Born® escribió:

Se supone que pertece al campo de la combinatoria y las permutaciones. Los números factoriales son tu hamijos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_factorial

ya veo...pero está jodida la cosa ajajajaja

Aki escribió:

Yo recurriría a la informática y haría un programa con los bucles que vaya contando una a una todas las restricciones y viendo si cumple o no.

los ordenadores hacen mejor la cuenta de la vieja

#12

Es que eso de los bombos no lo entiendo mucho. Yo lo que hice fue hacer las posibles combinaciones de los 16 equipos y emparejar de dos en dos por orden de lista eliminando la posibilidad de que se repitan los equipos.

¿Qué tal si calculo las combinaciones por bombo y luego sumo los resultados de cada bombo? Algo así como tener para un bombo n combinaciones de 4 equipos y luego 4n.

#14 Es que lo de los bombos es la clave del problema.
Significa que hay dos grupos de equipos. 8 en cada grupo, y que los emparejamientos van a ser entre equipos de distinto bombo. Es decir, primero se va a sacar una bola del primer bombo y el equipo que salga se va a enfrentar contra otro equipo que sale de sacar otra bola del segundo bombo.
Por lo tanto los equipos que están en el mismo bombo no pueden enfrentarse entre ellos.
Luego no tiene sentido calcular las combinaciones por bombo, pues nunca se van a enfrentar entre ellos.
Decir bombos es lo mismo que decir urnas, o sacos,... la mecánica es la siguiente: Se meten 8 bolas con los nombres de 8 equipos en la saca A, y 8 bolas más con los nombres de los otros 8 equipos (distintos) en la saca B.
Se saca una bola de la saca A y otra de la saca B. Ese es el primer enfrentamiento.
Estas bolas no se vuelven a meter, luego ya no hay 8 en cada saca, hay 7.
Se saca una nueva bola de cada saca... segundo enfrentamiento.
Quedan 6 bolas en cada saca,....
Y así se hacen los 8 enfrentamientos. (El último enfrentamiento ya está determinado por el resto anterior, pues en cada saca solo queda una bola).
De esta manera no tiene sentido calcular las combinaciones de enfrentamientos entre equipos de una misma saca o bombo, pues nunca se van a enfrentar entre ellos.
Espero haberte aclarado lo de los bombos. Si?