Qué son los decibelios (dB): una explicación para músicos

¿Qué preferís, que os hablen de Hz o de notas? De notas sin duda. Incluso para un no músico, los Hz no son algo tan comprensible y tan sentido como las notas. Se trata de dos formas capaces de presentar la información de frecuencia o altura de los sonidos. Una muy vinculada a la física, la otra más musical/perceptual.

Pues bien, las ventajas y dificultades que implica usar dB son bastante equiparables a las que implica hablar de notas, semitonos, intervalos y octavas en lugar de hablar de Hz (hercios).

Los dBs son un invento maravilloso para simplificarnos la vida, pero la ingeniería lo mantiene más opaco de lo que debería con sus fórmulas enrevesadas. La fórmula que los define y algunos ejemplos de cálculo mediante dB ya se han presentado tiempo atràs en Hispasonic. Pero queremos abordar un enfoque diferente para ayudar a comprenderlos a cualquiera de nosotros, acostumbrados a las cuestiones audio-musicales.

Concretamente, en este tutorial vamos a intentar entender en sí el concepto de la representación de valores mediante dB, en especial en lo relativo a su carácter relativo y logarítmico. Lo haremos sin ningún exceso de matemática, acudiendo a analogías con la relación entre la frecuencia en Hz. y las notas musicales.

Dejo para próximos tutoriales, ya escritos y de inminente publicación, algunas cuestiones más avanzadas y aclaraciones sobre dudas habituales con los dBs. Un tipo de representación de valores que es demasiado importante conocer y entender bien y al que por eso queremos prestar una atención específica en esta mini colección de artículos.

Todos sabemos que hay una relación que liga la frecuencia medida en Hz. con la nota medida en semitonos. Si tomamos una nota determinada como base, como arranque, nota de referencia o ‘nota 0’, por ejemplo el La de 55Hz., podríamos concebir sus octavas doblando en cada una la frecuencia:

Pese a que sentimos un mismo intervalo en esos saltos de octava, la distancia entre octavas sucesivas expresada en Hz no es fija. Muy al contrario, no para de ‘estirarse’: cada octava es el doble de grande en Hz que la anterior. Es una acción física multiplicativa y por tanto expansiva pero que origina una sensación aditiva y de saltos iguales (no expansiva: con cada nueva octava siempre añadimos 12 semitonos -sumamos, no multiplicamos-). Nuestros sentidos a menudo funcionan como en este ejemplo. Incrementos que son físicamente multiplicativos los sentimos aditivos, por ejemplo:

• Una mínima rendija permite que entre una brizna de luz que inmediatamente nos permite ver allí donde sólo había oscuridad, pero cada nuevo incremento de luminosidad exige cada vez mayores aportes de energía lumínica. Cuando la sala ya está iluminada con varias bombillas tenemos que encender otro montón de bombillas para llegar a notar un cambio.
• Dos violines suenan (más o menos) el doble de fuerte que uno, pero para que la sonoridad de una sección de 10 violines se doble necesitamos añadir bastante más que otros 10 violines.

Cada nuevo incremento es más ‘costoso’. Es así como funcionan nuestros sentidos, y por tanto nuestras experiencias de la realidad. Las cifras muchas veces nos cuentan una verdad física y objetiva diferente a la experimentada por nosotros.

La equidistancia ‘sentida’ entre sucesivas octavas se hace patente al usar la representación con el número de nota, no al usar la representación con los Hz. El número de nota es una representación en ese sentido mucho más ‘perceptual’ que el dato físico de los Hz. Es una representación que además tiende a compactar el rango de valores: fijaos que en la figura siguiente, que representa un recorrido de 4 octavas, nos movemos en un rango de notas que va de 0 a 48, y en un rango de en lugar de frecuencias en Hz que recorre de 55 a 880 Hz. Pero subir otra octava más a cada lado sólo añadiría 24 notas más (un total de 73 distintas) pero implicaría ya un recorrido de 27,5 a 1760 Hz.

En definitiva es más simple usar los semitonos, y sobre todo es también más significativo perceptual y musicalmente.

Si escribimos las sucesivas octavas de una nota (como esos La que venimos usando de ejemplo) el número de octava no es sino el número de veces que hemos multiplicado por 2 (o dividido por 2) la frecuencia de referencia (nuestros 55 Hz.). Es fácil de entender: se trata de contar cuántos saltos x2 hemos tenido que dar. El número de octava sería el exponente de la penúltima columna de este cuadro, y la operación que permite obtener el exponente al que está elevado un determinado número se llama logaritmo con base ese número. Es lo que hemos puesto como última columna, para así obtener el 'número de octava':

En definitiva, nos hemos quitado de en medio el 55 sin más que dividir por ese valor como primer paso, y a continuación hemos aplicado el logaritmo en base 2 para contar cuántos saltos 'por 2' tenemos que dar para llegar al La deseado desde nuestro La0. Por tanto , si quisiéramos medir la distancia en octavas respecto al La0 que hemos situado en 55 Hz., usaríamos esta expresión:

No tenemos porqué limitarnos a considerar octavas, desde luego. En todo caso, siempre un salto ‘multiplicativo’ en los Hz. da lugar a un incremento ‘aditivo’ perceptual. Y a la inversa también. Por ejemplo podríamos plantearnos ¿cuánto incremento multiplicativo en Hz corresponde a la sensación de subir un semitono? Y la respuesta es que añadir un semitono multiplica la frecuencia por 1,05946… ¿Por qué? Ese valor es la raíz doceava de 2, y de esa forma entran 12 intervalos iguales en el recorrido ‘doblar frecuencia’ que corresponde a la octava.

[Nota aclaratoria, para los que quieran liarse: Pensando en valores en Hz., para que acumulados doce saltos de semitono lleguemos a la octava (doblar la frecuencia) necesitamos que el salto de cada semitono multiplique la frecuencia por una cantidad ‘s’ tal que s multiplicado por sí mismo 12 veces sea igual a 2. Dicho de otra forma necesitamos que ‘s’ sea la raíz doceava de 12, cuyo valor es ese 1,05946 del que hablaba.]

Otra forma de verlo sería pensar en que en cada salto de octava no queremos subir una unidad (que es lo que hacíamos en la fórmula de las octavas) sino doce unidades (así cada vez que se dobla la frecuencia sumamos '12' semitonos). En definitiva, si lo que queremos no es contar 'octavas' sino contar 'semitonos' desde una nota dada, lo que tendremos que hacer una de dos cosas (son equivalentes): poner un 12 delante de la expresión que nos contaba 'octavas' para que cuente '12' cada salto de octava, o cambiar la base del logaritmo en la fórmula anterior para que no cuente saltos de tipo 'multiplicar por dos' sino de tipo 'multiplicar por 1,05946...'. De esa forma llegamos a:

No hace falta entender mucho qué es o cómo se calcula un logaritmo. Si nos quedamos con la última espresión, el logaritmo base 1,059... nos permite contar los semitonos, contar cuántos saltos multiplicativos del tamaño de su base (1,0594…, es decir, un semitono) hay que dar para llegar desde la referencia (55 Hz) al valor final (f Hz). El valor D expresa cuántos semitonos separan f Hz. de 55 Hz.

Si al hacer el cálculo obtuviéramos los decimales de esa medida D hablarían ya de unos cambios inferiores al semitono. Por ejemplo si obtenemos D con dos cifras detrás de la coma alcanzamos precisión de ‘cents’ y podemos representar desviaciones respecto a los semitonos, saltos microtonales o cualquier altura aunque no sea de alguna de las notas ‘oficiales’.

Lo que me importa destacar no es la fórmula en sí, sino algunas de sus características que diferencian la medición en semitonos respecto a la realizada en Hz.:

• Hemos necesitado fijar una referencia (nuestros 55Hz)
• Es una medida relativa: usa el cociente de la frecuencia del sonido respecto a la de la referencia
• El cociente se somete a un logaritmo para que su recorrido ‘expansivo’ se convierta en un recorrido de saltos ‘iguales’ para intervalos iguales.
• La base de ese logaritmo se ha escogido para que cada unidad en el valor D corresponda a aquel incremento o salto que deseamos, en nuestro caso un semitono.

Esas mismas características las veremos en los dB: la necesidad de fijar una referencia, la expresión siempre relativa al cociente con esa referencia, la aplicación de un logaritmo, y la adopción de una base para el logaritmo que nos sea útil en algún sentido (hay pocas cosas que midamos por docenas, salvo las notas cromáticas, los huevos y las rosas, así que para los dB no vamos a escoger precisamente 1,05946…).

Por analogía con lo que acabamos de observar podremos comprender muy bien qué sucede con los dB.

La fórmula de los dB es del mismo tipo que la que presentábamos para el paso de Hz a semitonos y tendrá por ello características parecidas. Esta que os presento aquí no es la definición que soléis ver en los libros, pero ya os prometí que no iba a ser una explicación ordinaria. En todo caso os aseguro que es equivalente a la formula ‘oficial’ de los dB (que ya hemos presentado en otras ocasiones).

El valor en decibelios de una determinada cantidad puede definirse como

donde valor y referencia comparten las mismas unidades. No voy a entrar hoy (insistiré sobre ello en otra entrega) sobre el que valor y referencia deben tener significado de 'potencia' no de 'amplitud' y las consecuencias de ello. Comparando con las dos fórmulas que dimos para el cálculo de la distancia en semitonos, en este caso tenemos dos expresiones de la distancia que separa dos potencias. En la última el logaritmo usa base 1,258925… (la raíz décima de diez).

Vemos que es siempre una medida relativa (interviene un cociente entre dos valores, uno de los cuales se toma como punto de partida o referencia) y vemos que en su obtención se aplica un logaritmo para reducir el rango de valores final y conseguir aquello de los saltos ‘no expansivos’, de forma que nos cuente los saltos que hay que da para llegar desde ‘referencia’ hasta ‘valor’ mediante sucesivos incrementos multiplicativos de valor de la base del logaritmo (1,258925…).

¿Porqué elegimos para la base del logaritmo esa raíz décima de diez? Eso nos lleva a pensar cuánto representa cada dB.

Al igual que acumulando doce semitonos doblábamos la frecuencia (porque usábamos raíz doceava de 2 como base del logaritmo) al usar la raíz décima de diez como base del logaritmo, hacen falta 10 saltos de 1 dB para llegar a un valor que sea 10 veces mayor que la referencia.

El que no pensemos en doblar (como la octava) sino en crecer por un factor 10 tiene que ver con la tradición del sistema decimal. En la vida ordinaria nos interesamos por saltos por 10. El que ese salto por diez lo dividamos a su vez en 10 fragmentos equivale a lo de dividir en 12 trozos la octava. Sencillamente aquí se hacen diez trozos y no doce, de nuevo por la costumbre del sistema decimal.

Como resultado cada cada decibelio implica multiplicar por aproximadamente por ese valor raíz décima de diez que hemos indicado en la base del logaritmo: 1.2589… Si multiplicamos ese valor reiteradamente por sí mismo, estaríamos recorriendo las relaciones valor/referencia que corresponden a 1, 2, 3, 4… dB, y que resultan ser:

Entre todos esos valores, llamamos la atención sobre que 3 dB corresponde aproximadamente a un valor que es casi doble a la referencia (con más precisión doblar serían 3,01029996… dB). También hemos recalcado en la lista algo que ya habíamos comentado: 10 decibelios implican multiplicar por 10 el valor de referencia (eso es lo que establece la base elegida para el logaritmo).

¿Cuántos dB corresponderían a una relación valor/referencia = 100? Serían 20 dB porque es el resultado de multiplicar 10*10 y por tanto sumar 10 + 10 dB (al igual que acumulábamos octavas sumando 12+12 semitonos).

Me gusta decir, aunque no es muy ortodoxo, que los dB son una forma de representación de valores que aplica una estrategia genérica capaz de reducir rangos enormes a algo más sencillo, más manejable, y más ¿humano?. No es su única ventaja, pero sí una importante.

Con ‘representación’ quiero llamar la atención sobre el hecho de que cuando hablamos de dBs no hablamos en sí de una unidad particular (como los metros, los gramos, los vatios o los voltios), ni tampoco solamente de medir la ‘ganancia’ o ‘pérdida’ de un sistema (una de las utilidades clásicas de los dB), sino más bien de un ‘truco’ de la ingeniería que permite transformar valores en otros nuevos con algunas ventajas.

Digo que es una estrategia ‘genérica’ porque se puede aplicar a muchas cosas (por eso hay tantísimos tipos de dBs, una lista interminable) conseguiendo con ella determinadas ventajas al trabajar con números que tienen recorridos gigantescos. Se trata casi una forma de ‘codificar’ valores en unos nuevos valores de recorrido más corto y amigable, con una más cercana vinculación a lo que sentimos.

Podríamos pensar en muchas ventajas, pero principalmente las condensaría en dos.

• Evitar el vértigo ante los muchos dígitos que se presenta con cantidades enormes y minúsculas
• Favorecer una representación de los valores más acorde a cómo percibimos

Si lo queréis en plan más técnico, reescribo esas ventajas de otra forma:

• Reducir un recorrido extenso de valores extremadamente dispares y necesitado de muchos dígitos a uno que no necesite tantos
• Aplicar una medida de precisión homogénea en todo su recorrido, adaptando la sensibilidad al propio tamaño de lo medido

En muchas cuestiones sucede que el recorrido de valores que admite algo es amplísimo desde lo minúsculo hasta lo gigantesco, hasta el punto de exigir muchas cifras enteras y/o decimales para abarcarlo. Tantas cifras que es una complicación manejarse con ellas, no ayudan a la lectura e interpretación de los valores.

Pensad en lo que mide el perímetro de un pelo (menos de un milímetro) y el perímetro de la tierra (decenas de miles de kilómetros). Para describir esas cantidades usando como unidad el metro, tengo que admitir y entender un recorrido que puede ir de 0,0001 m (lo del pelo) hasta 44.077.000,00 m. (perímetro ecuatorial de la tierra). Y no hemos incorporado distancias micrométricas ni cósmicas.

Cualquier cosa cuyo recorrido de valores sea abismal podrá hacerse más abarcable usando una representación en dB.

¿Qué manejamos todos? Dinero, y más bien no mucho. Entendemos lo que es un euro y lo que es un céntimo. Y comprendemos lo que son 100 euros aunque esos billetes no pasen por nuestras manos, pero mucho más allá nos entra el mareo. Vaya, que la gente corriente nos manejamos bien concibiendo cosas que vayan desde la centésima hasta algo un poco más allá del centenar. Quedarnos en ese rango amigable es lo que permitirán los dB.

Pensemos en las potencias que intervienen en nuestras señales audio. Desde el susurro mínimo de unas hojas que vuelan al estruendo de un avión ultrasónico, desde el filato más delicado de una soprano al tutti fortissimo de un estruendoso final de movimiento en una sinfonía, tenemos recorridos muy extensos. La máxima potencia audible, ya rayando el daño físico al oído, es un millón de millones de veces mayor que la que se produce en el umbral de audición. Un uno con doce ceros,… complejo de manejar para los mortales (y también para los ingenieros, por eso se inventaron los dB).

Medir algo aplicando una representación en dB demostrará tener la capacidad de concentrar rangos que en origen van desde lo ‘tera’ a lo ‘pico’ en un recorrido mucho más abarcable al ciudadano medio. P.ej. los recorridos desde 0,000.000.000.001 hasta 1.000.000.000.000 quedarán convertidos en un recorrido de -120 a 120, mucho más simple. Y realmente muy pocas cosas escapan a un rango tan enorme. Todo es cuestión de elegir bien quién va a ser nuestra referencia.

Para lograr esa compactación del rango, la representación de valores mediante dB aplica un logaritmo y toma un 'centro' o 'referencia' que sea de utilidad para aquello que deseemos medir. Algo que podremos entender sin muchas matemáticas, sin siquiera saber bien qué hace o cómo se calcula esa operación ‘log’.

Los dB tienen la gracia (por eso no se usa jamás el ‘belio’ y sí el decibelio) de que muchos recorridos convencionales acaban convertidos en aquello que decíamos de ir de las centésimas a las centenas. Fijaos en algunas correspondencias:

O por la parte de ratios valor/referencia inferiores a la unidad (valores inferiores al de referencia):

El poder ‘concentrador’ de los dB es evidente. Y además contamos con la elección de la referencia para poder ‘centrar’ los 0dB en un valor que nos sea interesante y cómodo. De hecho centraremos nuestra atención sobre las posibles referencias en otra entrega.