¿Porqué es imposible afinar un piano?

Porque tiene demasiadas cuerdas. Al menos eso es lo que cuentan en este vídeo.

Que sea difícil afinarlo perfecto no significa que sea imposible, como se lleva demostrando desde hace algo así como 300 años...

También es verdad que la mayoría de las afinaciones de pianos son imperfectas y normalmente soluciones de compromiso, pero tiene más que ver con el piano en sí, la mecánica, el tute que se le da, y otro sinfín de cosas.

Aunque el contenido es en su mayor parte riguroso y correcto, el título es engañoso y lo de la cantidad de cuerdas es una broma en comparación con la guitarra, pero no tiene nada que ver con la imposibilidad que se discute.

En psicoacústica hay dos fenómenos fundamentales pero incompatibles matemáticamente:

1) La percepción de la consonancia, que tiene que ver con la interferencia de parciales en relaciones fraccionarias bajas o, visto de otra manera, con la relaciones cercanas siguiendo la serie armónica.

2) La percepción de la altura, que hace que el oído establezca una relación entre sonidos a distancia de una o más octavas.

La consonancia implica relaciones de frecuencia lineales, la frecuencia de un armónico es la de la fundamental multiplicada por un número entero: f2 = N x f1

La altura implica relaciones logarítmicas, dos notas reciben el mismo nombre (Do, Re, Mi...) si la frecuencia de una es la de la otra multiplicada por una potencia de 2: f2 = 2^N x f1

La historia de los sistemas de afinación es la de encontrar compromisos entre la distribución de notas en octavas y el mantenimiento de intervalos inferiores a la octava que sean suficientemente consonantes.

Afinar un violín o una guitarra usando armónicos naturales es también "imposible", en el sentido de que el resultado no va a ser consistente, porque matemáticamente no salen las cuentas.

Pongamos que afinamos una guitarra por armónicos, usando el método de igualar el 4º armónico de una cuerda grave al 3º de la siguiente más aguda: 4 x f1 = 3 x f2, es decir, f2/f1 = 4/3, cuarta justa natural (entre la 2ª y la 3ª cuerdas sería f2/f1 = 5/4, tercera mayor natural).

Siguiendo este método, la 1ª cuerda en relación con la 6ª tendría una frecuencia de 4/3 x 4/3 x 4/3 x 5/4 x 4/3 = 3.95061728395061728395. Es decir, la 1ª cuerda no será un Mi dos octavas más agudas que el Mi de la 6ª (f2/f1 = 4), estará un poco por debajo.

Dicho de otra manera: el problema irresoluble de la división de la octava en alturas que produzcan consonacias perfectas no depende de un instrumento concreto, sino de las matemáticas del sonido aplicadas a cómo nuestro cerebro lo percibe.

#3

El título es clickbait puro pero tu explicación es mejor que la del vídeo. Gracias.

En realidad es una explicación un poco simplificada, que he limitado a las octavas porque es el intervalo más sencillo de caracterizar matemáticamente y de identificar auditivamente. Pero el mismo principio de progresión geométrica (exponencial, logarítmica) se aplica a cualquier otro intervalo, como se ve en el cálculo de las cuerdas de la guitarra.

El oído percibe los intervalos logarítmicamente, como relación proporcional entre frecuencias fundamentales. Lo importante para identificar una octava, una quinta justa, o cualquier otro intervalo, no es el incremento lineal en hertzios, sino la proporción.

Por ejemplo, para calcular la quinta justa natural de A3 (220 Hz) habría que multiplicar por 3/2, resultando 330 Hz (E4) (un incremento de 110 Hz). Si queremos seguir subiendo quintas, hay que seguir multiplicando por ese factor (progresión geométrica) y la siguiente quinta sería 330 x 3/2 = 495 Hz (B4), un incremento de 165 Hz: 220, 330, 495, 742.5, 1113.75... Cada vez las diferencias en hertzios son mayores, pero la proporción se mantiene.

Sin embargo los armónicos de A3 (220 Hz) se calculan sumando sucesivamente 220 Hz (progresión aritmética): 220, 440, 660, 880, 1100, 1320...

Al ser dos mecanismos fundamentalmente distintos de poner en relación unos sonidos con otros, cuantos más sonidos añadimos a la escala más difícil es mantener relaciones entre ellos que cumplan ambos criterios.

Afortunadamente el oído tiene cierta tolerancia (teorema del punto gordo) y se pueden encontrar compromisos, como el sistema temperado de 12 tonos que venimos usando desde el barroco tardío, que es un sistema puramente logarítmico y sacrifica la consonancia perfecta en aras de la total coherencia interválica, facilitando el uso de herramientas expresivas como la transposición o la modulación.