Sobre la conduccíón de voces en una progresión armónica

El otro día en un foro sobre programación, se estaba hablando sobre como hacer un algoritmo, para determinar la disposición de acorde más adecuada a la conducción de voces de los acordes.

Ejemplo C E G -> C F A ( De Do mayor a Fa mayor ) / C E G -> C E A ( De Do mayor a La menor )...etc

Tras reflexionar sobre la mejor manera de realizar un algoritmo que hiciera la tarea en principio solo para triadas, descubrí dos cosas.

La conducción entre dos triadas se puede calcular usando el valor de las notas que componen la triada. Imaginemos que partimos de Re
menor con la disposición en estado fundamental , re fa la, siendo los valores midi 50, 53 y 57 respectivamente. Si sumamos esos tres valores
nos da como resultado 160. Si a continuación vamos a armonizar con la triada fa mayor, deberemos usar aquella en que la suma de las notas que lo compone sea la más cercana a 160.

Ejemplo do fa la (48,53,57) -> 158; fa la do ( 53,57,60 ) -> valor 170; la do fa (45,48,53) -> 146. Y en este caso partiendo de ese re menor re fa la,el fa mayor más cercano es do fa la. Observé también, que las diferentes sumas de las posiciones de un mismo acorde varían de 12 en doce, por que calcular la suma de los diferentes fa mayores que se pueden formar, parten de 14 -> C0 F0 A0 ( 0,5 y 9), la siguiente disposición suma 26 F0 A0 C1 ( 5,9 y 12), y así sucesivamente hasta la octava que deseemos calcular.

La segunda cosa que observé, es que utilizando solo una octava, se pueden formar todos los acordes (triadas) de todas las tonalidades, eso si en una única posición.

Con esas dos consideraciones o premisas, partiendo del acorde inicial, se puede determinar una octava que permite crear todas las triadas, asegurándonos de esta forma que la conducción de voces va a tener las mínimas variaciones.

La disposición del acorde inicial determina cual sera la nota inicial de la octava y/ nota final de la octava, pudiendo darse tres variantes, que la triada inicial contenga la nota más grave de la octava, que la triada contenga la nota más aguda de la octava, o que la triada inicial no contenga ninguna de esas dos notas, la más grave o más aguda de la octava.

La decisión es personal, e independientemente de que la triada inicial este o no, en la disposición fundamental, primera inversión o segunda inversión.

Ejemplos con triada inicial Re menor ( reitero que no importa la tonalidad de la canción).

Disposición fundamental Re Fa La ( D F A)

Octava siendo la nota más grave D -> D Eb E F Gb G Ab A Bb B C Db
Octava siendo la nota más aguda A -> Bb B C Db D Eb E F Gb G Ab A

En el caso de que la triada inicial no contenga ni la nota más aguda o más grave de la octava a usar hay 4 variantes

A Bb B C Db D Eb E F Gb G Ab
Bb B C Db D Eb E F Gb G Ab A
B C Db D Eb E F Gb G Ab A Bb
C Db D Eb E F Gb G Ab A Bb B
Db D Eb E F Gb G Ab A Bb B C

Disposición primera inversión Fa La Re ( F A D)

Octava siendo la nota más grave F -> F Gb G Ab A Bb B C Db D Eb E
Octava siendo la nota más aguda D -> Eb E F Gb G Ab A Bb B C Db D

En el caso de que la triada inicial no contenga ni la nota más aguda o más grave de la octava a usar hay 1 variante

E F Gb G Ab A Bb B C Db D Eb

Disposición segunda inversión La Re FA( A D F)

Octava siendo la nota más grave A -> A Bb B C Db D Eb E F Gb G Ab
Octava siendo la nota más aguda F -> Gb G Ab A Bb B C Db D Eb E F

En el caso de que la triada inicial no contenga ni la nota más aguda o más grave de la octava a usar hay 2 variantes

Ab A Bb B C Db D Eb E F Gb G
G Ab A Bb B C Db D Eb E F Gb

Tanto la elección de cual es la triada inicial y la octava a escoger es libre.

Nota
Podría utilizarse este método para los tetracordios, aunque creo que puede ser más adecuado ampliar el rango a octava y media o más.

Y si me he equivocado en algo, pues decidmelo

Epiphone escribió:

En el caso de que la triada inicial no contenga ni la nota más aguda o más grave de la octava a usar hay 4 variantes

A Bb B C Db D Eb E F Gb G Ab
Bb B C Db D Eb E F Gb G Ab A
B C Db D Eb E F Gb G Ab A Bb
C Db D Eb E F Gb G Ab A Bb B
Db D Eb E F Gb G Ab A Bb B C

Fé de errores ... son 3

B C Db D Eb E F Gb G Ab A Bb
C Db D Eb E F Gb G Ab A Bb B
Db D Eb E F Gb G Ab A Bb B C

Epiphone escribió:

El otro día en un foro sobre programación, se estaba hablando sobre como hacer un algoritmo, para determinar la disposición de acorde más adecuada a la conducción de voces de los acordes.

Espero que también haya algún músico que apunte que "más adecuada" no quiere decir más musical. Se puede hablar de más cercana y se convierte en un problema topológico.

Epiphone escribió:

Si sumamos esos tres valores
nos da como resultado 160. Si a continuación vamos a armonizar con la triada fa mayor, deberemos usar aquella en que la suma de las notas que lo compone sea la más cercana a 160.

Es una forma innecesariamente enrevesada de decir que el movimiento de las voces sea el menor posible:

Ejemplo:

(48,53,77) - (50, 53, 57) = (-2,0,0) (resta vectorial: la voz más baja desciende una segunda mayor, las otras permanecen)
(53,77,60) - (50, 53, 57) = (3,4,3)
etc.

Epiphone escribió:

las diferentes sumas de las posiciones de un mismo acorde varían de 12 en doce

Claro, porque cambiar la disposición supone subir o bajar una octava una o varias de ellas. Y si subo una voz una octava y bajo otra una octava la suma no varía:

(50,53,57) y (45,53,62) suman ambas 170, pero la segunda es una segunda inversión abierta (abarca más de una octava).

Epiphone escribió:

se puede determinar una octava que permite crear todas las triadas, asegurándonos de esta forma que la conducción de voces va a tener las mínimas variaciones

También bastante enrevesado y demasiado focalizado en un caso concreto, poco extensible a acordes con duplicaciones (armonía a 4 voces) o disposiciones abiertas, por ejemplo.

Vas por buen camino, pero no tienes que reinventar la rueda, ya hay métodos matemáticos para hacer este tipo de cálculos basados en la teoría de conjuntos de alturas:

https://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory_%28music%29

Utilizándola, hay varias posibilidades para resolver el acertijo.

Por ejemplo, calcular la nota más cercana para cada voz.

Teniendo en cuenta la naturaleza cíclica de las octavas de 12 semitonos, lo más lejos que puede estar una clase de nota (pitch class) de otra es seis semitonos, hacia arriba o hacia abajo, entre -6 y +6. Pongamos que numero las clases de nota de 0 a 11: C=0, C#/Db=1, ... B=11

Ejemplo: el acorde de C sería 0, 4, 7. El acorde de Bb sería 10, 2, 5.

¿Qué distancias hay de las notas del acorde de Bb a la nota C? Bb a -2, D a +2, F a +5.
¿Qué distancias hay de las notas del acorde de Bb a la nota E? Bb a +6 (ó -6, es lo mismo), D a -2, F a +1.
¿Qué distancias hay de las notas del acorde de Bb a la nota G? Bb a +3, D a -5, F a -2.

Tomando valores absolutos y probando las 3! = 6 combinaciones posibles (2,2,2) (2,1,5) (2,6,2) (2,1,3) (5,6,5) (5,2,3), tenemos dos candidatas al menor desplazamiento:

- (2,2,2): todas las voces se mueven en paralelo, desplazamiento total = 2+2+2 = 6 semitonos.
- (2,1,3): C pasa a D, E pasa a F, G pasa a Bb, desplazamiento total = 2+1+3 = 6 semitonos. De C fundamental se pasa a Bb en 1ª inv., de C en 1ª inv. se pasa a Bb en 2ª inv. y de C en 2ª in. se pasa a Bb fundamental.

Estas dos soluciones serían válidas para todos los acordes cuyas fundamentales estén a distancia de segunda mayor, ascendente o descendente.

Apunto que he elegido precisamente ese ejemplo por dos razones:

1) Puede haber más de una solución.
2) La solución más corta no tiene por qué ser la "más adecuada". Por ejemplo, en los acordes a distancia de segunda (mayor o menor) el movimiento más cercano es el paralelo. Los manuales de armonía a 4 voces recomiendan como patrón más convencional para dos acordes en posición fundamental con fundamental duplicada mover el bajo una segunda y el resto de voces en movimiento contrario al bajo hasta el factor más cercano del siguiente acorde. Por ejemplo, de bajo a soprano, CEGC - DDFA.