Están relacionados, pero no son exactamente lo mismo.
Funciones tonales (o armónicas): Se refieren a la cualidad de los acordes referida a su tensión en el sistema tonal funcional. Hay 3 funciones tonales, tónica, dominante y subdominante. Cada una de esas funciones cuenta con lo que se conocen como funciones relativas o paralelas. La clasificación de los acordes por su función en la tonalidad permite al músico controlar la composición y el análisis. En la imagen las 3 funciones armónicas en Do Mayor (habría que ampliarla con acordes de 7a y alterados). Todos los que comienzan por T son acordes que representan la función de tónica y lo mismo ocurre con S y D para subdominante y dominante. La
p significa "paralela" o función en el relativo (en este caso menor o escala relativa menor) mientras que la
g es algo similar: "contraacorde" pero más ambiguo.
Armonía funcional: Bajo este término se engloba el estudio de los acordes, sus enlaces y los procedimientos compositivos dentro del sistema tonal funcional. Las funciones armónicas o funciones tonales son parte fundamental de este estudio pues permiten construir elementos esenciales en la composición como cadencias, y planificar la estructura discursiva en un lenguaje escénico como la música.
Armonía tradicional: Es la denominación más ambigua de todas. En el entorno didáctico de los conservatorios era usado para referirse al estudio de la armonía basado en un planteamiento teórico algo desligado de la realidad y para referirse a una ensalada de técnicas barroco-clásico-románticas filtradas por un exceso de academicismo. Pero dentro de un enfoque pedagógico actual esa tradición musical de la armonía incluye la armonía modal (Faure, Debussy, Bartok), la armonía no funcional (Shostakovich), la armonía atonal (Schoenberg, Weber) y la armonía en la música pop, rock, jazz o cine. Mismas técnicas para producir discursos diferentes.
http://conservatoriopablosarasate.educacion.navarra.es/doc/1718/programaciones/Bajo%20Electrico%2017_18.pdf
Siendo rigurosos la denominación tradicional es similar a folclórico.
Armonía moderna: Es igualmente ambiguo e impreciso y ha sido utilizado para intentar destacar las diferencias en el uso de los acordes en la música llamada "moderna" (pop, rock, etc) Sin embargo, los enlaces paralelos o por transporte, los giros modales, o las tensiones en los acordes no son exclusivos de estas música y un estudio competente de la música lleva a concluir que armonía tradicional y moderna son la misma materia de conocimiento desde diferentes puntos de vista. Lo más que podría diferenciarse es el repertorio de obras a estudiar, pero las técnicas son las mismas.
Tradicional o Moderna son hoy marcas comerciales con las que algunos autores intentan determinar el público objetivo de sus cursos, tutoriales o libros.