Semitonos en la escala diatónica

¿Es correcta la siguiente explicación del porqué de la norma según la cual, en la escala diatónica y entre el MI y el FA de la misma octava (o entre el SI de una octava y el DO de la octava siguiente superior) hay un semitono en lugar de un tono, considerando las frecuencias de onda de dichas notas en la 4ª y 5ª octavas?

Explicación:

1. Los intervalos del espectro sonoro de las notas mencionadas en el primer tetracordio de la octava son:

DO4: desde 261,62 Hz (frecuencia de DO4) hasta 293,66 Hz (frecuencia de RE4) = 32,04 Hz
RE4: desde 293,66 Hz hasta 329,62 Hz (frecuencia de MI4) = 35,96 Hz.
MI4: desde 329,62 Hz hasta 349,22 Hz (frecuencia de FA4) = 19,6 Hz.

Entonces, si comparamos el intervalo MI4-FA4 al RE4-MI4 y hacemos una regla de tres tenemos que 19,6 es a 35,96 como X es a 100, de donde X = 54,5. Es decir, la longitud del espectro sonoro de la nota MI4 es el 54,5 % (aproximadamente, pues, el 50 %), o sea, aproximadamente la mitad de la longitud del espectro sonoro de la nota FA4.

Por eso, al intervalo entre RE4 y MI4 se le ha dado el valor de un tono y al intervalo entre MI4 y FA4, el valor de un semitono, es decir, la mitad de un tono.

2. Los intervalos del espectro sonoro de las notas mencionadas en el segundo tetracordio de la octava son:

SOL4: desde 391,99 Hz (frecuencia de SOL4) hasta 440,00 Hz (frecuencia de LA4) = 48,01 Hz
LA4: desde 440,00 Hz hasta 493,88 Hz (frecuencia de SI4) = 53,88 Hz.
SI4: desde 493,88 Hz hasta 523,25 Hz (frecuencia de DO5) = 29,37 Hz.

Entonces, si comparamos el intervalo SI4-DO5 al SOL4-LA4 y hacemos una regla de tres tenemos que 29,37 es a 53,88 como X es a 100, de donde X = 54,5. Es decir, la longitud del espectro sonoro de la nota SI4 es el 54,5 % (aproximadamente, pues, el 50 %), o sea, aproximadamente la mitad de la longitud del espectro sonoro de la nota LA4.

3. Es en base a mediciones y cálculos como estos que he presentado aquí, supongo, que se decidió la norma según la cual la medida de los intervalos de RE4 a MI4 y de LA4 a SI4 es de un tono y la medida de los intervalos de MI4 a FA4 y de SI4 a DO5 es de un semitono.

No está bien. Los intervalos se definen por el cociente de las frecuencias, no por su diferencia. Es así porque la altura percibida no es lineal sino logarítmica respecto a la frecuencia.

Por si te lo aclara más: de una octava a la siguiente la frecuencia se dobla (220Hz, 440Hz, 880Hz... son sucesivos 'la'). Y para obtener las 12 notas de la escala cromática dentro de la octava, el paso de una a la siguiente consiste en multiplicar por un factor raíz doceava de 2.
Eso permite que aplicado el salto mumtiplicativo 12 veces seguidas se haya doblado la frecuencia inicial, correspondiendo así a lo que llamamos octava.
(Hablo de escala de temperamento igual, no de otras posibles definiciones, claro)

Gracias Pablo. ¿Pero la comparación de los cocientes de los dos intervalos RE-MI y MI-FA llega también a la demostración que busco que es que el espectro del intervalo MI-FA mide la mitad (aprox.) del espectro del intervalo RE-MI? Porque midiendo las diferencias sí que se llega al casi el 50 %. Es lo que permite el cálculo que hecho a partir de las simples frecuencias en vez de comparar cocientes (9:10 y 15:16 en este caso). A ver si es que en vez de estar mal, es que mi cálculo es una forma aritmética distinta de expresar una misma realidad física y por tanto igualmente legítima que la del uso de cocientes.

No, no es correcto. En primer lugar, ese análisis no es una explicación, sino una constatación. En segundo lugar, el sistema temperado que se usa en la actualidad no es lineal, sino logarítmico, favorece la consistencia interválica en detrimento de la consonancia perfecta. Eso quiere decir que una regla de tres no es una buena herramienta para analizarlo.

La relación entre la frecuencia una nota y la siguiente, un semitono por encima, es geométrica o logarítmica. No se suma, se multiplica: F(n+1) = F(n) x 2^(1/12)

https://en.wikipedia.org/wiki/12_equal_temperament

La explicación de por qué los semitonos van en esas posiciones es histórica, aquí tienes un artículo que indaga un poco en el tema:

https://www.hispasonic.com/tutoriales/consonancia-disonancia-fisica-cultura-raices-musica/38282

Recuerdo que la pregunta a la que he respondido es: ¿porqué se ha decidido que entre re y mi hay un tono y entre mi fa sólo medio tono?

José Candela Castillo escribió:

igualmente legítima

No, aquí no hay legitimidad ni opinión que valga, esto son matemáticas muy estrictas y sencillas. Lo que se duplica de forma perfecta es el exponente.

Al ser una relación logarítmica, tonos y semitonos vecinos nunca van a tener una relación lineal consistente.

gracias de nuevo. Toda constatación es una explicación.

Gracias Vagar. Yo no he dicho que el resultado al que llega mi cálculo: la duplicación (o la división por 2) sea exacta, he dicho aproximadamente. Por otra parte, no es infrecuente leer en algunos artículos de acústica musical que "la distancia de 16/15 es aproximadamente igual a una mitad del tono, y se llama semitono."

La mejor manera de salir de un error es estar abierto a escuchar y analizar otras opciones, no empeñarse en mantener una postura inicial.
Desde el móvil no puedo escribir extenso, pero de verdad, haznos caso en esto.
La exactitud es real, no aproximada, en el caso de la escala cromática de temperamento igual, y con la relación adecuada, de tipo cociente, para concebir los intervalos.
Escala de temperamento igual que fue creada como forma de resolver los déficit que para un uso amplio de modulaciones y otras técnicas y recursos musicales tenían otras formas de definir la escala.

Por cierto, creo que vagar ha sido generoso usando 'constatación' para lo que yo hubiera tildado de mera 'casualidad'. La curvatura del logaritmo en el punto de test que tú has escogido se aproxima (de forma bastante burda, 54 frente a 50 es un importante error) al ideal que quieres encontrar. Vete a otro intervalo y verás crecer ese error de forma 'inexplicable' bajo el sistema que planteas.

Y perdoname si a lo mejor la pasión me ha llevado a ser un poco duro al expresarme. Pero no puedo leer insensible que toda constatación es una explicación. Una constatación de un hecho permite elucubrar una hipótesis, pero eso es solo aliciente para buscar una verdadera explicación/demostración o una refutación (esta última fácil en este caso en cuanto te muevas a otro intervalo).

#9

No sé qué artículos habrás leído, pero para entender los artículos lo primero es empezar por una base.

El oído humano reacciona psicoacústicamente a distintos fenómenos auditivos que son incompatibles matemáticamente entre sí.

Por un lado, está la percepción de la consonancia/disonancia, que está relacionada con la serie armónica. La serie armónica sí es un fenómeno lineal, en el cual se pueden establecer relaciones de proporción. De la serie armónica se derivan los intervalos denominados "naturales", que se expresan como fracciones. Así, la octava natural es 2/1, la quinta justa 3/2, la cuarta justa 4/3, etc.

Por otro lado, está la percepción de las distancias interválicas, que es logarítmica. El oído considera dos intervalos iguales si guardan entre sí la misma proporción. Así, entre 100 Hz y 150 Hz hay una quinta justa, porque tienen relación 3/2, y entre 150 Hz y 225 Hz también hay una quinta justa, porque tienen la misma relación 3/2.

El problema matemático que no tiene solución es que si usamos las proporciones de los intervalos naturales para dividir la octava y crear una escala, aparecen inconsistencias que perjudican determinados procedimientos compositivos. Por poner un ejemplo, es imposible cerrar un círculo de quintas, ya que una potencia de 3/2 nunca puede ser potencia de 2.

No quiere decir que no se pueda hacer música con afinaciones no temperadas, muchas culturas lo hacen. Pero en el transcurso de la historia de la música algunos compositores europeos, con su predilección por recursos como la armonía tonal o la modulación, decidieron que usar intervalos temperados les permitía elaborar discursos más de su gusto, aunque fueran intervalos ligeramente disonantes. La popularidad de la música de estos compositores propició la adopción a gran escala de este sistema de afinación.

Así que no, un semitono temperado no es 16/15. Es raíz doceava de 2, 2^(1/12), aproximadamente 1,059463.

Un tono natural es 9/8, pero un tono temperado son dos semitonos temperados, es decir, 1,059463^2.

Una quinta justa natural es 3/2, pero una quinta justa temperada son 7 semitonos temperados, es decir 1,059463^7.

Si analizas los valores de frecuencias que estabas utilizando verás que siguen esta relación logarítmica, exactamente, sin aproximación alguna más que el redondeo a los decimales que se quiera, porque están derivados de una afinación temperada. Por eso no tiene sentido hacer reglas de tres con ellos.

Gracias por vuestro tiempo. No sé cómo se responde individualmente, por eso respondo aquí a los dos. Que se me corrija si me equivoco (no soy un experto) pero el sistema temperado igual se creó sobre todo para hacer que todos los instrumentos se pudieran afinar con referencia (más o menos directa) a una serie única de frecuencias, es decir se creó para ser útil a algo y aunque basado en un cálculo matemático determinado, es una convención normativa de la misma validez de muchas otras (como es el caso de decenas de otros sistemas de temperamento existentes en varios países y culturas). En mi texto, no estoy dentro de esa convención específica. Estoy simplemente explicando que fuera del método empleado para formalizar (y homogeneizar) la estructura de la escala diatónica del temperamento igual (mediante el uso de progresiones geométricas), en un método de cálculo distinto hay una cifra que se repite en el cálculo de la dimensión del espectro acústico de los dos semitonos existentes y que esa cifra es aproximadamente el 50 %. Que la diferencia de 4 puntos porcentuales sea grande o pequeña, a mí me da igual porque mi casualidad o constatación no tiene ninguna utilidad práctica fuera del campo especulativo (o incluso lúdico o antiuilitarista); no busca ser utilizada (como era el caso de la formalización aceptada del temperamento igual) para afinar igual los instrumentos, etc. Además mi texto lo he escrito como pregunta.

Ya que he leído el hilo, añado una referencia a las de Vagar y Pablo que creo que podría ser de utilidad a quien le interese el tema:

https://www.elargonauta.com/libros/afinacion-y-temperamentos-historicos/978-84-206-6546-7/

Se trata de un libro que repasa la formación de las diferentes afinaciones y temperamentos utilizados en las escalas (sobre todo occidentales) a lo largo de la historia.

José Candela Castillo escribió:

¿porqué se ha decidido que entre re y mi hay un tono y entre mi fa sólo medio tono?

Evidentemente no es una decisión que se tomó en un punto concreto de la historia sino que el hecho de que acabemos con escalas de tonos y semitonos tal como los conocemos ahora es fruto de una evolución histórica, cultural, social, tecnológica etc...

Un saludo